　蔵本モデルにおいて非常に重要な役割を果たすOtt-Antonsen anzatsについて解説します。式変形に飛躍がないように丁寧に導出します。

概要

　Ott-Antonsen anzatsを用いることで振動子数が無限大の極限におけるオーダーパラメータの振る舞いを表す常微分方程式を導くことができます。この方法は時間遅れのある蔵本モデルや、ローパスフィルターを用いた蔵本モデルにも応用されています。

導出

　蔵本モデルは以下の式で与えられます。

$$ \frac{d\theta_i(t)}{dt} = \omega_i+\frac{K}{N}\sum_{j=1}^{N}\sin[\theta_j(t)-\theta_i(t)]\tag{1} $$

また、複素数のオーダーパラメータを以下で定義します。

$$ z = re^{i\psi}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}e^{i\theta_j}\tag{2} $$

(2)を用いると(1)は

$$ \frac{d\theta_i}{dt}=\omega+Kr\sin(\psi-\theta_i)\tag{3} $$

とかけます。
　ここで振動子数が無限大の極限$N\to\infty$を考えます。このとき、(2)、(3)はそれぞれ

$$ z = \int_{-\infty}^{+\infty}{\int_0}^{2\pi}e^{i\theta}g(\omega)f(\omega,\theta,t)d{\theta}d\omega\tag{4} $$

$$ \frac{d\theta}{dt}=\omega+Kr\sin(\psi-\theta)\tag{5} $$

となります。ただし、$g(\omega)$は振動子の自然周波数の密度関数です。また、振動子は確率密度関数$f(\omega,\theta,t)$で表されます。ただし、$f(\omega,\theta,t)$は以下のように規格化されているとします。

$$ \int_{0}^{2\pi}f(\omega,\theta,t)d\theta = 1\tag{6} $$

$f(\omega,\theta,t)$は以下の連続の式に従います。

$$ \frac{{\partial}f}{{\partial}t}+\frac{\partial}{{\partial{\theta}}}(f\dot{\theta}) = 0\tag{7} $$

(6)を(7)に代入すると

$$ \frac{{\partial}f}{{\partial}t}+\frac{\partial}{{\partial{\theta}}}\{f[\omega+\frac{K}{2i}(ze^{-i\theta}-z^{*}e^{i\theta})]\} = 0\tag{8} $$

を得ます。$f$を$\theta$に関して以下のようにフーリエ級数展開できると仮定します。

$$ f = \frac{1}{2\pi}\{1+[\sum_{n=1}^{\infty}\alpha^{n}(\omega,t)e^{-i\theta}+c.c.]\}\tag{9} $$

ただし、$|a|<1$を満たすとします。また、c.c.はカッコ内第1項の複素共役を表します。(9)がOtt-Antonsen anzatzと呼ばれています。　以下では(8)と(9)を用いて計算を進めていきます。初めに(8)に第2項の微分を実行します。

$$ \frac{{\partial}f}{{\partial}t}-\frac{K}{2}(ze^{-i\theta}+z^{*}e^{i\theta})f+[\omega+\frac{K}{2i}(ze^{-i\theta}+z^{*}e^{i\theta})]\frac{\partial{f}}{\partial{\theta}} = 0\tag{10} $$

(10)は非常に長いので項ごとに分けて計算します。まず、第1項を計算します。第1項に(9)を代入すると

$$ \frac{\partial{f}}{\partial{t}} = \sum_{n=1}^{\infty}n\alpha^{n-1}\frac{\partial{\alpha}}{\partial{t}}e^{in\theta} + \sum_{n=1}^{\infty}n(\alpha^{*})^{n-1}\frac{\partial{\alpha^*}}{\partial{t}}e^{-in\theta}\tag{11} $$

となります。第2項は

$$ \begin{align} -\frac{K}{2}(ze^{-i\theta}+z^{*}e^{i\theta})f = &-\frac{K}{2}(ze^{-i\theta}+z\sum_{n=1}^{\infty}\alpha^ne^{i(n-1)\theta}+z\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha^*)^ne^{-i(n+1)\theta}\\ &+z^*e^{i\theta}+z^*\sum_{n=1}^{\infty}\alpha^ne^{i(n+1)\theta}+z^*\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha^*)^ne^{-i(n-1)\theta})\tag{12} \end{align} $$

第3項は

$$ \begin{align} [\omega+\frac{K}{2i}(ze^{-i\theta}+z^{*}e^{i\theta})]\frac{\partial{f}}{\partial{\theta}} = i\omega(\sum_{n=1}^{\infty}n\alpha^ne^{in\theta}-\sum_{n=1}^{\infty}n(\alpha^*)^ne^{-in\theta})\\ +\frac{K}{2}(z\sum_{n=1}^{\infty}n\alpha^ne^{i(n-1)\theta}-z\sum_{n=1}^{\infty}n(\alpha^*)^ne^{-i(n+1)\theta}\\ -z^*\sum_{n=1}^{\infty}n\alpha^ne^{i(n+1)\theta}+z^*\sum_{n=1}^{\infty}n(\alpha^*)^ne^{-i(n-1)\theta})\tag{13} \end{align} $$

となります。指数関数の直交性を利用して(11)、(12)、(13)から$e^{i\theta}$に関する項のみ取り出すと(10)は

$$ \frac{\partial\alpha}{\partial{t}}+\frac{K}{2}(z\alpha^2-z^*)+i\omega\alpha = 0\tag{14} $$

となります。また、(4)に(9)を代入して$\theta$積分を実行すると

$$ z = \int_{-\infty}^{+\infty}\alpha^*(\omega,t)g(\omega)d\omega\tag{15} $$

となります。ここで、$g(\omega)$をローレンツ分布

$$ g(\omega) = \frac{1}{\pi(\omega^2+1)}\tag{16} $$

とすると、(15)は$\omega$について複素積分が実行できて

$$ z = \alpha^*(-i,t)\tag{17} $$

を得ます。(17)を(14)に代入して$\omega=-i$とするとオーダーパラメータ$r$に関する以下の微分方程式が得られます。

$$ \frac{dr}{dt}+(1-\frac{1}{2}K)r+\frac{1}{2}Kr^3 = 0\tag{18} $$

$$ \frac{d\psi}{dt} = 0\tag{19} $$

(18)を解くことでオーダーパラメータの振る舞いの解析的な表現が得られます。