多重エルゴード定理 - SaltySwamp’s diary

　Oseledecによって証明された多重エルゴード定理について解説します。
　カオスアトラクター${M}$上の不変測度を$\rho$、次元を $m$ とします。また、$f:M{\rightarrow}{M}$をアトラクター上の不変測度を保存する写像とします。$f$はたとえばエノン写像などのカオス写像が考えられます。$J(x)$を${M}$上の点$x$のヤコビ行列とします。ここで、次の行列を定義します。

$$ J_{x}^{n}=J(f^{n-1}x){\cdots}J(fx)J(x)\tag{1} $$

このとき、ほとんどすべての$x$で次の極限が存在します。

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}(J_{x}^{n*}J_x^n)^\frac{1}{2n}\tag{2}=\Lambda_x }$

ただし*は転置複素共役を表します。
　 $\Lambda_x$ の固有値の対数はリアプノフ指数を呼ばれています。リアプノフ指数は次元の数だけ存在し、通常 $\lambda_1\geq\lambda_2\geq{\cdots}$ のように降順に並べられます。
　 $E_{x}^{(i)}$ を $\exp(\lambda_i)$ 以下の固有値に対応する固有ベクトルで張られる $\textbf{R}^m$ の部分空間とします。このとき

$\displaystyle{ \textbf{R}^m{\supset}{E_{x}^{(1)}}{\supset}{E_{x}^{(2)}}{\cdots}\tag{3} }$

が成り立ちます。このとき、ほとんどすべての $x$ について

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log||T_{x}^{n}u||=\lambda^{(i)}\tag{4} }$

が成り立ちます。ただし $u$ は $E _ {x} ^ {(i)}$ \ $E _ {x} ^ {(i+1)}$ に属するベクトルです。例えば $E _ {x} ^ {(i)}$ が3次元空間のときは $E _ {x} ^ {(i+1)}$ は2次元空間になります。したがって、3次元空間 $E _ {x} ^ {(i)}$ から2次元空間 $E _ {x} ^ {(i+1)}$ を除いた部分空間にベクトル $u$ が属する場合、(4)の右辺は $\lambda_i$ に収束します。しかし、3次元空間に対し2次元空間は測度が0なので、 $E _ {x} ^ {(i+1)}$ に属するほとんどすべての $u$ に対して(4)の右辺は $\lambda_i$ に収束します。同様に $\textbf{R}^m$ に属するほとんどすべてのベクトル $u$ に対して(4)の右辺は最大リアプノフ指数に収束します。